Question

6．（1）若关于x，y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+ay=16}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$的解为正整数，则正整数a的值为4或12．
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，则m=$\sqrt{{a}^{2}+4}$+$\sqrt{{b}^{2}+1}$的最小值为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）解出二元一次方程组中x，y关于a的式子，然后解出a的范围，即可知道正整数a的取值．
（2）根据轴对称的性质和两点之间线段最短的性质即可求得．

解答 解：（1）解方程组，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{32}{4+a}}\\{y=\frac{16}{4+a}}\end{array}\right.$．
∵此方程组的解都是正整数，a为正整数，
∴a的整数值有4，12．
故答案为4或12．
（2）如图，PC=a，PD=b，AC=2，BD=1，
∴A′E=CD=a+b=2，BE=2+1=3，
∴PA=$\sqrt{{a}^{2}+{2}^{2}}$，PB=$\sqrt{{b}^{2}+{1}^{2}}$，
∴PA+PB=$\sqrt{{a}^{2}+4}$+$\sqrt{{b}^{2}+1}$，
∴PA+PB的最小值为A′B，
∴A′B=$\sqrt{A{′E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴m=$\sqrt{{a}^{2}+4}$+$\sqrt{{b}^{2}+1}$的最小值为$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了二元一次方程的解以及轴对称-最短路线问题，熟练掌握方程的解的概念以及两点之间线段最短的性质是解题的关键．