Question

如图，将等边三角形PQR放在正方形ABCD上，边QR与AB完全重合．则：
（1）图①中点P与正方形中的任意两个顶点能构成多少个等腰三角形（等边△PQR除外）？直接写出这些三角形的名称______．
（2）现在将正方形ABCD固定不动，等边三角形PQR绕着点R旋转，使点P与C重合（如图②，这算第1步，点P落在P₁处），再绕着点P旋转，使点Q与点D重合（如图③，这算第2步，点P落在P₂处），重复这样的步骤，可得到图④…，则请你探究：经过______步，△PQR首次与原位置重合；又经过______步，点P首次回到原处．

（3）若正方形ABCD的边长等于4，则按第（2）题的方法从图①开始，连续旋转了2006步，最后点P落在P₂₀₀₆处．请画出此时图形的位置，并计算此时点P₂₀₀₆到RA的距离．

Answer 1

解：（1）根据等腰三角形的性质△PAD，△PCD，△PBC为等腰三角形
∵PA=AD，∴△PAD为等腰三角形；
∵PB=BC，∴△PBC为等腰三角形；
∵△PAD≌△PBC，∴PD=PC，
∴△PCD为等腰三角形．

（2）从图中可以得到以下规律，经过4步三角形回到原处，但是对应顶点变换一次，可知共有三个顶点，当经过12次时，对应顶点回到原处；

（3）从第（2）问中的规律可以知道第2006步时，点P应该在如图所示的位置，与点C重合
作CE垂直于AR，从正方形ABCD和等边三角形PQR的性质可以得出
∠ADR=90°+60°=150°，
∵AD=DR∴∠ARD=15°，
∴∠ECR=60°-15°=45°，
∵CE⊥AR，CR=AB=4，
∴在等腰直角△CER中应用勾股定理
CE=2．
分析：（1）根据等腰三角形的性质，两条边相等的三角形为等腰三角形，从而可以得出△PAD，△PCD，△PBC为等腰三角形；
（2）从图中的例子找出规律，即经过4步三角形回到原处，但是对应顶点变换一次，可知共有三个顶点，当经过12次时，对应顶点回到原处；
（3）因为点P每过12步回到原位置，可以通过（2）中规律知道经过2006步点P所在的位置，从而根据三角函数可以得出P₂₀₀₆到RA的距离．
点评：了解等腰三角形的判定定理，根据题中所给的图形找出规律是做题的关键．