Question

如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则
（1）BD的长是______；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）连接AD，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∵∠C=45°，
∴AB=AC=2，
∴BC===2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴D是BC的中点，
∴BD=BC=；

（2）连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=1，
∴OD⊥AB，
∴=，
∴与弦BD组成的弓形的面积等于与弦AD组成的弓形的面积，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△ABD=AB•AC-AB•OD=×2×2-×2×1=2-1=1．
分析：（1）连接AD，由于AC是⊙O的切线，所以AB⊥AC，再根据∠C=45°可知AB=AC=2，由勾股定理可求出BC的长，由于AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，故D是BC的中点，故可求出BD的长度；
（2）连接OD，因为O是AB的中点，D是BC的中点，所以OD是△ABC的中位线，所以OD⊥AB，故=，所以与弦BD组成的弓形的面积等于与弦AD组成的弓形的面积，所以S_阴影=S_△ABC-S_△ABD，故可得出结理论．
点评：本题考查的是切线的性质，涉及到三角形的面积、等腰三角形的性质及三角形中位线定理、圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．