Question

(本题10分)如图 ，直线与轴的交点坐标为A（0,1），与轴的交点坐标为B（-3,0）；P、Q分别是轴和直线AB上的一动

点，在运动过程中，始终保持QA=QP；△APQ沿
直线PQ翻折得到△CPQ，A点的对称点是点C.
（1）求直线AB的解析式．
（2）是否存在点P，使得点C恰好落在直线AB
上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由.

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为，则--------------------2分
解得，即----------------------------------------------1分
（2）分三种情况考虑下
第一种情况（如图甲）：设P的坐标为（t，0）
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称，并且点A,Q,C共线，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP,∴QA=QP=QC
即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=t，PH=OA=1，
∴点C的坐标为（t+1，t）.
∵点C落在直线AB上，
∴，解得.即P的坐标为（2，0）. --------------------------3分
第二种情况（如图乙）：设P的坐标为（t，0）
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称，并且点A,Q,C共线，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP,∴QA=QP=QC,
即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=-t，PH=OA=1，
∴点C的坐标为（t-1，-t）.
∵点C落在直线AB上，∴，解得.
即P的坐标为（，0）. -------------------------------------------------3分
第三种情况（如图丙）：
当点P与点B重合时，Q恰好是线段AB的中
点，此时点A关于直线PQ的对称点C与点A重
合，但A，P，Q三点共线，不能构成三角形，
故不符合题意. ------------------------------1分

 略