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(2012•苏州模拟)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,点D在AB上,DE⊥AE,⊙O是Rt△ADE的外接圆,且交AC于点G.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AC+GC=5,求直径AD的值.
分析:(1)连接OE,由OA=OE,利用等边对等角得到一对角相等,再由AE为角平分线得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行,得到AC与OE平行,再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角,得到OE与BC垂直,可得出BC为圆O的切线;
(2)过E作EF垂直于OD,连接EG,利用AAS得出△ACE≌△AFE,根据全等三角形对应边相等得到AC=AF,CE=FE,再由圆内接四边形的外角等于内对角得到一对角相等,再由一对直角相等及CE=FE,利用AAS得出△CEG≌△FED,可得出CG=FD,由AF+FD=AD,等量代换即可求出AD的长.
解答:解:(1)证明:连接OE,
∵OA=OE,
∴∠1=∠3,
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴OE∥AC,
∴∠OEB=∠C=90°,
则BC为圆O的切线;

(2)过E作EF⊥AB于点F,连接EG,
在△ACE和△AFE中,
∠2=∠1
∠C=∠AFE=90°
AE=AE

∴△ACE≌△AFE(AAS),
∴AC=AF,CE=FE,
∵∠AED=90°,
∴AD是⊙O的直径,又点D在⊙O上,
∴四边形AGED是圆内接四边形,
又∠CGE为圆内接四边形AGED的外角,
∴∠CGE=∠EDA,
在△CEG和△FED中,
∠CGE=∠EDA
∠C=∠EFD=90°
CE=FE

∴△CEG≌△FED(AAS),
∴CG=FD,又AC+CG=5,
则AD=AF+FD=AC+CG=5.
点评:此题考查了切线的判定,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,以及圆内接四边形的性质,切线的判定方法有两种:有点连接证垂直;无点作垂线,证明垂线段等于半径.
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