Question

菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q．求证：MQ∥NP．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN．现∠BAD=∠BCD，故可证△AMQ∽△CPN．于是要证明AM：AQ=CP：CN，进而得出答案．

解答：证明：连接MO，NO，BD，AC，
设∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．则
由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=

1

2

（180°-2β）=90°-β；
同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．
而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠OCN=∠MAO
∴△CON∽△AMO，
∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO²．
同理，AQ•CP=AO²，
∴AM•CN=AQ•CP，
∴

AM

CP

=

AQ

CN

，
∵∠BAD=∠BCD，
∴△AMQ∽△CPN，
∴∠AMQ=∠CPN，
又∵∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠ACD，
∴∠ASM=∠NTM，
∴∠ASM=∠ATN，
∴MQ∥NP．

点评：本题考查了菱形的内切圆和三角形的相似以及平行线的判定与性质等知识，根据已知得出△AMQ∽△CPN是解题关键．