Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=10，求弦AC的长．

Answer 1

解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠D=∠C=30°，
∴Rt△BAD中，BD=2AB，
又∵Rt△BAD中，AB²+AD²=BD²，AD=10，
∴AB²+100=4AB²，
解得：AB=，
∴AC=AB=．
分析：由BD为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠BAD=90°，又由∠BAC=120°，AB=AC，即可求得∠C的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠D的度数，又由勾股定理，即可求得AB的长，即可得弦AC的长．
点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．