Question

如图，在△ACM中，△ABC、△BDE和△DFG都是等边三角形，且点E、G在△ACM边CM上，设等边△ABC、△BDE和△DFG的面积分别为S₁、S₂、S₃，若S₁=9，S₃=1，则S₂=________．

Answer 1

3
分析：先设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等边三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，结合平角定义可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG=60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等边三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，从而有BE∥DG，于是∠CEB=∠EGD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例关系：a：b=b：c，即b²=ac，再根据S₁：S₃=（）²=可得a：c=3：1，结合S₁：S₂=（）²，把b2=ac代入可得
S₁：S₂=3：1，进而可求S₂．
解答：设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，如右图，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
同理∠EDG=60°，
∴∠CBE=∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD=∠GDF=60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB=∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b=b：c，
∴b²=ac，
∵S₁：S₃=（）²=，
∴a：c=3：1，
∵S₁：S₂=（）²====，
∴S₂=S₁=3．
故答案是3．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△CBE∽△EDG，得出b²=ac．