Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）．
（1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值；
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．

Answer 1

分析：（1）将（1，2）的坐标代入抛物线的解析式中，联立a=1，可得出b、c之间的关系式．如果△ABC是等边三角形，那么

3

2

倍BC的长正好是A点纵坐标的绝对值，联立b、c的关系式可求出b的值．
（2）易知：b+c=2-a，bc=

4

a

，可将b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，
则说明①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．
②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小指．

解答：解：（1）由题意，a+b+c=2，
∵a=1，
∴b+c=1
抛物线顶点为A（-

b

2

，c-

b2

4

）
设B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0
∴|BC|=|x₁-x₂|=

|x1-x2|2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4c

∵△ABC为等边三角形，
∴

b2

4

-c=

3

2

b2-4c

即b²-4c=2

3

•

b2-4c

，
∵b²-4c＞0，
∴

b2-4c

=2

3

，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2

5

所求b值为-2±2

5

．

（2）∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾．
∴a＞0．
∵b+c=2-a，bc=

4

a

∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的两实根．
∴△=（2-a）²-4×

4

a

≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，与a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值为6．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识．