Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要看图解答问题．得出当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米可得出三角形EMN的面积．
（2）本题要分情况解答（0＜x≤1；1＜x＜1+

3

）．当0＜x≤1时，可直接得出三角形的面积函数，当1＜x＜1+

3

，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出三角形面积函数
（3）本题也要分两种情况解答：当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时），利用二次函数的性质解答．
当MN在矩形区域滑动时，S=x，可直接由图得出取值范围
当MN在三角形区域滑动时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值

解答：解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
∴S_△EMN=

1

2

×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．（2分）

（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S=

1

2

×2×x=x；（3分）
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+

3

时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴

MN

DC

=

GH

GF

，即MN=

2( 3 +1-x)

3

．（4分）
故△EMN的面积S=

1

2

×

2( 3 +1-x)

3

×x
=-

3

3

x2+(1+

3

3

)x；（5分）
综合可得：S=

x，(0＜x≤1) - 3 3 x2+(1+ 3 3 )x．(1＜x＜1+ 3 )

（6分）

（3）①当MN在矩形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤1；（7分）
②当MN在三角形区域滑动时，S=-

3

3

x²+（1+

3

3

）x，
因而，当x=-

b

2a

=

1+ 3

2

（米）时，S得到最大值，
最大值S=

4ac-b2

4a

=

-(1+ 3 3 )2

4×(- 3 3 )

=

1

2

+

3

3

（平方米）．（9分）
∵

1

2

+

3

3

＞1，
∴S有最大值，最大值为

1

2

+

3

3

平方米．（10分）

点评：本题考查的是二次函数的相关知识．考生要学会利用图形，数形结合解答函数问题．难度较大．