Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF＝12，EC＝9，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可；（2）

试题分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可；
（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O的半径．
（1）连接OD交于AB于点G．

∵D是的中点，OD为半径，
∴AG=BG．
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）在Rt△CEF中，EF＝12，EC＝9
∴CF=15
设半径OC=OD=r，则OF=15-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，

∴，解得
即⊙O的半径为.
点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．