Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，点E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．判断AH与ED的位置关系，并说明理由；
（2）求AG的长．

Answer 1

解：（1）AH与ED的位置关系：AH⊥ED．理由如下：
由已知正方形ABCD得AD=DC=2，
AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
∴△ADE≌△CDF．
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°．
由已知得AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥ED．

（2）由已知AE=1，AD=2，
∵ED=，
∴AE•AD=ED•AG，
即×1×2=××AG，
∴AG=．
分析：（1）AH⊥ED，根据正方形的性质和平移的性质可证明△ADE≌△CDF，所以得到∠EDF=90°．再由已知条件AH∥DF，利用平行线的性质可证明∠EGH=90°，即垂直成立．
（2）利用勾股定理求出DE的长，再根据三角形的面积公式表示出△EAD的面积即AE•AD或ED•AG，由已知数据即可求出AG的长．
点评：本题主要考查对三角形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．