Question

如图，BC是⊙A的直径，以B为圆心的圆与⊙A交于M，N两点，MN交BC于点P．
（1）求证：CM是⊙B的切线；
（2）若⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，求CM和MN的长．

Answer 1

（1）证明：连接BM，
∵BC是⊙A的直径，
∴∠MBC=90°，
∴BM⊥CM，
∴CM是⊙B的切线；

（2）解：在Rt△BCM中，
∵BC=2×2=4，BM=1，
∴CM===，
又∵BC是直径，
∴BC⊥MN，
∴∠CPM=90°，MN=2PM；
又∵∠CMB=90°，∠MCP=∠BCM，
∴△MPC∽△BMC，
∴BM：BC=PM：CM，
∴1：4=PM：，
∴PM=，
∴MN=2PM=．
分析：（1）由于AB是直径，可知∠MBC=90°，那么有BM⊥CM，从而CM是⊙B的切线；
（2）在Rt△BCM中，利用勾股定理可求CM，又BC⊥MN，BM⊥CM，可得∠CPM=∠CMB=90°，再加上一对公共角，可△MPC∽△BMC，可得比例线段，可求出PM，从而利用垂径定理可求出MN．
点评：本题利用了切线的判定、勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识．