Question

如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F．
（1）求证：△OEF是等腰直角三角形．
（2）若AE=4，CF=3，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠FOC+∠BOF=90°，
又∵DE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BEO和△CFO中，，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）解∵△BEO≌△CFO（已证），
∴BE=CF=3，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB-BE=BC-CF，
即AE=BF=4，
在Rt△BEF中，EF===5．
分析：（1）根据正方形的性质可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOB=∠FOC，然后利用“角边角”证明△BEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，再根据正方形的四条边都相等求出AE=BF，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用，综合题，但难度不大，熟记正方形的性质是解题的关键．