Question

如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM，其中正确的有________•

Answer 1

①②③
分析：要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可
解答：∵AG∥FC且AG=FC，
∴四边形AGCF为平行四边形，
∴∠GAF=∠FCG=∠DGC，∠AMN=∠GND
在△ADE和△BAF中，
∵
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AEM=90°
∴∠EAM+∠AEM=90°
∴∠AME=90°
∴∠GND=90°
∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．
∵G点为AD中点，
∴GN为△ADM的中位线，
即CG为DM的垂直平分线，
∴GM=GD，CD=CM，故②正确；
在△GDC和△GMC中，
∵，
∴△GDC≌△GMC（SSS），
∴∠CDG=∠CMG=90°，
∠MGC=∠DGC，
∴GM⊥CM，故①正确；
∠MGC=∠FCG，
∴四边形MFCG为等腰梯形．故③正确；
∵∠CDG=∠CMG=90°，
∴G、D、C、M四点共圆，
∴∠AGM=∠DCM，
∵CD=CM，
∴∠CMD=∠CDM，
在Rt△AMD中，∠AMD=90°，
∴DM＜AD，
∴DM＜CD，
∴∠DMC≠∠DCM，
∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．
故答案为：①②③．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及等腰梯形的性质的运用．在解答中灵活运用正方形的中点问题解决问题，灵活运用了几何图形知识解决问题．