Question

如图，直线y₁=2x与双曲线相交于点A、E．另一直线y₃=x+b与双曲线交于点A、B，与x、y轴分别交于点C、D．直线EB交x轴于点F．
（1）求A、B两点的坐标，并比较线段OA、OB的长短；
（2）由函数图象直接写出函数y₂＞y₃＞y₁的自变量x的取值范围；
（3）求证：△COD∽△CBF．

Answer 1

解：（1）由题意得：，
解得 ，或 ，
∴A（-2，-4），E（2，4），
将A坐标代入y₃=x+b中，得b=-2，即y₃=x-2，
联立得：
解得：，
∴B（4，2）；
OA=，OB=，
∴AO=BO，

（2）∵A点坐标为（-2，-4），
∴结合图象当x＜-2时，y₂＞y₃＞y₁；

（3）设直线EB的解析式为y=k₁x+b₁，直线AB的解析式为y=k₂x+b₂，
则有 ，，
解得：，
∵k₁•k₂=-1，
∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°
∵∠OCD=∠BCF，
∴△DOC∽△CBF．
分析：（1）由于点A在直线y₁=2x与双曲线上，解方程组 ，可得点A坐标，再将求出的解集即是B点坐标，再利用勾股定理求出AO与BO的长；
（2）结合图象当x＜-2时，取同一值时，函数图象在上面是就大，得出y₂＞y₃＞y₁；
（3）欲证△DOC∽△CBF，已有∠OCD=∠BCF，再有一角对应相等即可，求出直线AB、EB解析式，根据系数可判定他们垂直，即可得出解集．
点评：此题主要考查了函数交点坐标的求法以及相似三角形的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知将函数解析式联立求出公共解集是解题关键．