Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答 解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{FG}{AC}$，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴$\frac{4-FC}{5}$=$\frac{FG}{3}$，
∵FC=FG，
∴$\frac{4-FC}{5}$=$\frac{FC}{3}$，
解得：FC=$\frac{3}{2}$，
即CE的长为$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．