Question

（2012•南湖区二模）如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　　）

• A．△DEF是等边三角形
• B．△ADF≌△BED≌△CFE
• C．DE=

  1

  2

  AB
• D．S_△ABC=3S_△DEF

Answer 1

分析：求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，DE=

3

BE，即可判断选项C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断选项D．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，
∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，
∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-90°-30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
在△ADF、△BED、△CFE中

∠ADF=∠BED=∠CFE ∠A=∠B=∠C DF=DE=EF

∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AD=BE=CF，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，DE=

3

BE，
∴AB=3BE，
即

3

DE=AB，
即DE=

1

2

AB错误；
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴S_△ABC：S_△DEF=（AB）²：（DE）²=（

3

DE）²：DE²=3，
即只有选项C错误；选项A、B、D正确．
故选C．

点评：本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．