Question

已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为(

3

，0)，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求过D点的反比例函数的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据条件知道AC是圆的直径，所以长度为2，因为C的坐标已知，所以能求出OC的长度，根据勾股定理求出AO的长度，所以可求出角的度数．
（2）连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E，根据题目所给的条件，求出D点的坐标，进而求出反比例函数的解析式．

解答：解：（1）∵⊙B经过原点O，∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直径，
∴AC=2．（1分）
又∵点A的坐标为（

3

.0），
∴OA=

3

．OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1．（2分）
∴sin∠CAO=

1

2

．
∴∠CAO=30°．（3分）

（2）连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E．（4分）
∵OD为⊙B的切线，
∴OB⊥OD．∴∠BOD=90°
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD
∴OD=OA=

3

．（6分）
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=

3

2

．ED=OD•sin60°=

3

2

，（7分）
∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为(-

3

2

，

3

2

)．（8分）
设过点D的反比例函数表达式为y=

k

x

，则k=(-

3

2

)×

3

2

=-

3 3

4

∴y=-

3 3

4x

（10分）

点评：本题考查反比例函数的综合运用，本题考查了勾股定理的运用，以及三角函数的运用，反比例函数的确定等知识点．