Question

如图，在?ABDO中，已知A、D两点的坐标分别为A（，），D（2，0）．将?ABDO向左平移个单位，得到四边形A′B′D′O′．抛物线C经过点A′、B′、D′．
（1）在图中作出四边形A′B′D′O′，并写出它的四个顶点坐标；
（2）在抛物线C上是否存在点P，使△ABP的面积恰好为四边形A′B′D′O′的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）作出平移后的四边形A′B′D′O′，
顶点坐标分别为A′（0，）、B′（2，）、D′（，0）、O′（-，0）．


（2）由题意可设抛物线C的解析式为y=ax²+bx+，
则，
解得a=，b=-2．
∴抛物线C的解析式为y=x²-2x+．
∵四边形A′B′D′O′是平行四边形，
∴它的面积为O′D′×OA′=2×=6．
假设存在点P，则△ABP的面积为3．
设△ABP的高为h，则×AB×h=×2×h=3，
得h=．
即点P到AB的距离为，
∴P点的纵坐标为0或2．
∴当P的纵坐标为0时，即有0=x²-2x+，
解得x₁=x₂=．
当P的纵坐标为2时，即有2=x²-2x+，
解得x=-，x=+．
因此存在满足条件的点P，坐标为（，0），（，2），（，2）．
分析：（1）平行四边形整体向左平移，因此四点的横坐标都加减去即可得出平移后平行四边形四顶点的坐标．
（2）先根据A′、B′、D′的坐标求出抛物线的解析式．然后求出平行四边形的面积，即可得出三角形ABP的面积，AB的长已知，那么可据此求出P点到AB的距离，也就能求出P点的纵坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出P点的坐标．
点评：本题着重考查了平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．