Question

在△ABC中，∠A=60°，O是外心，H是垂心．求证：AO=AH．

Answer 1

证明：作垂心H关于AB轴对称，对称点为H'．
于是∠BCH=∠BAH=∠BAH’，H'，A，B，C四点共圆，点H’在△ABC的外接圆O上，
从而OH'=OA=OB=OC，
则∠CAO=∠BAH=∠BAH'．
又∠BAC=60°，
∴∠OAH'为60°，
∴△OAH'为等边三角形，
∴AO=AH'=AH．
分析：作垂心H关于AB轴对称，对称点为H'．根据三角形的垂心是三角形的三条高的交点，则∠BCH=∠BAH=∠BAH’，从而，H'，A，B，C四点共圆，点H’在△ABC的外接圆O上，得OH'=OA=OB=OC；根据三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，从而∠CAO=∠BAH=∠BAH'，得到等边三角形OAH′，即可证明．
点评：此题综合运用了三角形的外心和垂心的性质．