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    如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．

    (1)试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形；

    (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．(特别提醒：表示角最好用数字)

    答案：
    解析：

    　　解：(1)四边形BECF是菱形．

    　　证明：因为EF垂直平分BC，

    　　所以BF＝FC，BE＝EC．

    　　所以∠1＝∠2．

    　　因为∠ACB＝90°，

    　　所以∠1＋∠4＝90°，∠3＋∠2＝90°．

    　　所以∠3＝∠4．

    　　所以EC＝AE．

    　　所以BE＝AE．

    　　因为CF＝AE，

    　　所以BE＝EC＝CF＝BF．

    　　所以四边形BECF是菱形．

    　　(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．

    　　证明：因为∠A＝45°，∠ACB＝90°，

    　　所以∠1＝45°．

    　　所以∠EBF＝2∠A＝90°．

    　　所以菱形BECF是正方形．


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    探究问题：
    （1）方法感悟：
    如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
    感悟解题方法，并完成下列填空：
    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
    AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
    因此，点G，B，F在同一条直线上．
    ∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
    ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
    即∠GAF=∠
     
    ．
    又AG=AE，AF=AF
    ∴△GAF≌
     
    ．
    ∴
     
    =EF，故DE+BF=EF．
    （2）方法迁移：
    如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=
    1
    2
    ∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
    （3）问题拓展：
    如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=
    1
    2
    ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）试说明：△ABF是等腰三角形；
    （2）若AD=DC，试说明：AC=2AB．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （11·永州）（本题满分10分）探究问题：

    ⑴方法感悟：

    如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

    感悟解题方法，并完成下列填空：

    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

    AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

    因此，点G，B，F在同一条直线上．

    ∵∠EAF=45°  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

    ∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．

    即∠GAF=∠_________．

    又AG=AE，AF=AF

    ∴△GAF≌_______．

    ∴_________=EF，故DE+BF=EF．

    ⑵方法迁移：

    如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

    ⑶问题拓展：

    如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

     

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    科目：初中数学 来源：2010-2011学年度临沂市费县七年级第二学期期末检测数学 题型：解答题

    （11·永州）（本题满分10分）探究问题：
    ⑴方法感悟：
    如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
    感悟解题方法，并完成下列填空：
    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
    AB="AD,BG=DE," ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
    因此，点G，B，F在同一条直线上．
    ∵∠EAF="45° " ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
    ∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．
    即∠GAF=∠_________．
    又AG=AE，AF=AF
    ∴△GAF≌_______．
    ∴_________=EF，故DE+BF=EF．

    ⑵方法迁移：
    如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

    ⑶问题拓展：
    如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

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    科目：初中数学 来源：2013届度临沂市费县七年级第二学期期末检测数学 题型：解答题

    （11·永州）（本题满分10分）探究问题：

    ⑴方法感悟：

    如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

    感悟解题方法，并完成下列填空：

    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

    AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

    因此，点G，B，F在同一条直线上．

    ∵∠EAF=45°  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

    ∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．

    即∠GAF=∠_________．

    又AG=AE，AF=AF

    ∴△GAF≌_______．

    ∴_________=EF，故DE+BF=EF．

    ⑵方法迁移：

    如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

    ⑶问题拓展：

    如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

     

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