Question

如图，直线y=x+b（b＜0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）求证：DA平分∠CDE．
（2）是否存在直线AB．使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）当△AOD的面积为3时，求直线AB的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵直线y=x+b（b＜0）交坐标轴于A、B两点
∴A（-b，0），B（0，b），
∴∠OAB=45°，
又∵过D作两坐标轴的垂线DC、DE，
∴∠EDC=90°，DC∥BE，
∴∠CDA=∠OAB=45°，
∴∠CDA=∠EDA=45°，
即：DA平分∠CDE；

（2）解：存在直线AB．使得四边形OBCD为平行四边形
∵点B在y轴上，O为原点，DC⊥x轴
∴OB∥DC
要使得四边形OBCD为平行四边形，使OB=DC即可，即|b|=x+b（b＜0）得x=-2b
又∵直线y=x+b（b＜0）交双曲线于点D，
∴得b=-2
∵b=-2时OB∥DC且OB=DC
∴由平行线的判定定理可得四边形OBCD为平行四边形
∴此时直线的解析式为：y=x-2；

（3）解：△AOD的面积S=×DC×OA=×（x+b）×|b|=3（b＜0），
得x=--b，代入直线AB和双曲线可得
，得b=-3
∴此时直线AB的解析式为：y=x-3．
分析：①欲证明DA平分∠CDE，则是∠EDA=∠ADC=45°即可；
②使得四边形OBCD为平行四边形只需证明OB∥DC且OB=DC即可；
③S_AOD=DC×OA．
点评：本题主要考查了反比例函数，一次函数以及平行线判定定理．解答此题时要运用数形结合的思想．