Question

如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．
（1）求证：△ABP∽△PCF；
（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；
（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°．
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°．
∴∠PAB=∠EPC．
∴△ABP∽△PCF．
（2）
当=时，△APF∽△PCF．理由如下：
∵∠PAB=∠EPC，
∴tan∠PAB=tan∠EPC，即==．
设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=．
在Rt△ABP中，AP=．
在Rt△PCF中，FP=．
∴==，
∵∠APF=∠PCF=90°，
∴△APF∽△PCF．
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°．
∵∠PAB=∠EPC，PA=PE．
∴△PAB≌△EPG
∴EG=PB，AB=BC=PG，
∴PB=EG=CG，
∴∠ECG=45°．
设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．
在Rt△EPG中，cot∠EPC===1+．
分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；
（2）当=，△APF∽△PCF，设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=，根据勾股定理计算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°，设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．
点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度很大，对学生的解题能力要求很高．