Question

1．已知直线AB∥CD，
（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是∠ABE+∠CDE=∠BED．
（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．
（2）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，据此推得∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．
（3）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．

解答 解：（1）如图1，作EF∥AB，，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，
即∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）如图2，，
∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠CDE=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE）
由（1），可得
∠BFD=∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE）
∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．

（3）如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED=360°．
故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED、∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．

点评 此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．