Question

如图，△ABO中，∠A=90°，AO=AB=2，OB=4，以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系，在O和B处分别有动点P和Q，P从O沿OA向A运动，Q从B沿AB的延长线运动，两点同时出发，速度都为，运动的时间为t，且0＜t＜2．
（1）求A点的坐标及AB所在的直线的解析式．
（2）求△APQ的面积S与时间t的函数关系式．
（3）设PQ与BO相交于E，在运动过程中（0＜t＜2），PE与EQ是否相等．

Answer 1

解：（1）作AD⊥OB于D点，如图（1），
∵AO=AB=2，OB=4，
∴OD=BD=2，
∵∠OAB=90°
∴AD=OD=2
∴A（2，2）、B（4，0）
设AB所在的直线的解析式为y=kx+b
把A（2，2）、B（4，0）代入得：
解得：
∴AB所在的直线的解析式为：y=-x+4
∴A（2，2）、AB所在的直线的解析式为：y=-x+4

（2）由题意知：OP=BQ=
∴AP=，AQ=
∴S=AP•AQ=（）（）=4-t²

（3）相等
理由：
作PM⊥OB于M点，QN⊥OB于N点，如图（2）
∴∠PMO=∠QNB=90°，
∵P、B运动时间相同，
∴OP=BQ，
在△OPM和△BQN中，
∵ 
∴△OPM≌△BQN（AAS），
∴PM=QN，
又∵∠PEM=∠QEN，
∴在△PME和△QNE中，
∴，
∴△PME≌△QNE（AAS），
∴PE=EQ．
分析：（1）作高AD，利用等腰三角形三线合一的性质求A的坐标；然后用待定系数法求直线AB的解析式．
（2）用t表示出AP和AQ，再用面积公式不难求出．
（3）可以利用三角形全等来证明两条线段相等．
点评：本题考查了待定系法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的证明等知识点，作辅助线是解题的关键，前两问难度不大，第三问不容易想到，多分析证明两条线段相等的方法．