Question

矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系中，使AB在x轴的正半轴上，点A在点B的左侧，另两个顶点都在第一象限，且直线经过这两个顶点中的一个．
（1）求A、B、C、D四点坐标；
（2）以AB为直径作⊙M，记过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
①若P点在⊙M和矩形内，求a的取值范围；
②过点C作CF切⊙M于E，交AD于F，当PF∥AB时，求抛物线的函数解析式．

Answer 1

解：（1）首先画图．设点A坐标为（x，0）

又∵AB=3，AD=2且点A在点B的左侧．AB在x轴的正半轴上．
又∵ABCD为矩形，则点B、C、D的坐标分别为（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直线，经过这两个顶点中的一个．
当其经过点C时，
∴x=-1
又∵点A在x轴正半轴上
∴x＞0
∴x=-1舍去
当其经过点D时，
∴x=2，符合题意．
∴A、B、C、D四点坐标分别为（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此抛物线过点A．B
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-5）=ax²-7ax+10a（a≠0）
∴其顶点P的坐标为
而⊙M的圆心M的坐标为，半径为
∴若P点在⊙M和矩形内，则，
∴．
②设点F坐标为（2，y），则FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均为⊙M的切线，
根据切线长定理有CE=BC=2，EF=AF=-a，
设直线PF与BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF²=FG²+CG²，CG=BC-AF=2+a，CF=BC+EF=2-a；
∴（2-a）²=（2+a）²+9
解得a=-
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）（x-5）=-x²+x-5．
分析：（1）本题可先设A点的坐标，然后根据AB，AD的长，表示出矩形另外三点的坐标；已知了直线过矩形中C、D两点中的其中一个，因此要分类进行求解．分别计算出直线过C点和过D点时得出的A的横坐标的值，然后可根据A点在x轴的正半轴或D，C在第一象限将不合题意的值舍去即可得出A，B，C，D四点的坐标．
（2）①本题可根据A、B两点的坐标用交点式二次函数通式设出抛物线的解析式，然后用a表示出顶点P的坐标，进而可依据“P点在⊙M和矩形内”和圆的半径的长求出a的取值范围．
②根据切线长定理不难得出FE=AF，CE=CB，如果PF∥AB，设PF与BC交于G点，那么可用P点的纵坐标表示出EF，AF的长，进而可表示出CF，CG的长，那么可在直角三角形CFG中用勾股定理求出a的值，也就能得出抛物线的解析式．
点评：本题主要考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、切线长定理、勾股定理等知识点．综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．