Question

9．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小，请说明其依据．

Answer 1

分析 （1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）根据“两点之间线段最短”可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小．

解答 （1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ABM=∠EBN}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∵点O为BD的中点，
∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），
∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．