Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（4，0），B（-2，0）两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动，同时动直线l从x轴出发，以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动，直线l交AC与D，交BC于E，当点Q运动到A点时，两者都停止运动．设运动时间为t秒．△QOD的面积为S．
①写出S与t的函数关系式，并求S=

1

2

S_△BOC时t的值；
②在点Q及直线l的运动过程中，是否存在t的值使∠EQD=90°？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将已知三点的坐标代入到二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）①根据题意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO•OC=

1

2

×2×4=4，然后求得s与t的函数关系式，从而得到有关t的方程，然后求解即可；
②若∠DQE=90°时，过点D作DF⊥AB于F，过点E作EG⊥AB于G，利用△BGE∽△BOC表示出QG=2t-

t

2

=

3t

2

、AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，然后利用△EGQ∽△QDF列出比例式求得t值即可．

解答：解：（1）把点A（4，0），B（-2，0），C（0，4）代入抛物线y=ax²+bx+c得：

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

∴二次函数的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由题意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO•OC=

1

2

×2×4=4，
①s与t的函数关系式为

s=-t2+t(0≤t＜1) s=t2-t(1≤t≤3)

Ⅰ当0≤t＜1时，-t²+t=2
整理得：t²-t+2=0，次方程无实数根；
Ⅱ当1≤t≤3时，t²-t=2
解得：t=2或t=-1，
综上，t=2；
②存在．若∠DQE=90°时，过点D作DF⊥AB于F，过点E作EG⊥AB于G，则△BGE∽△BOC，
∴

GB

OB

=

GE

OC

，
∴BG=

OB•EG

OC

=

2t

4

=

t

2

，
∴QG=2t-

t

2

=

3t

2

．
同理可求AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，
易得△EGQ∽△QDF，
∴

EG

QF

=

QG

DF

∴

t

6-3t

=

3t 2

t

，
∴t=

18

11

．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．