Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于点G，交BC于点H，CD与FE延长线交于D点，CD=DH．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若H为BC中点，AB=10，EF=8，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）要求证：DC是圆O的切线，只要证明OC⊥PC即可．
（2）AB与EF是两条相交的弦，根据相交弦定理得到AG•BG=EG²即（AB-BG）BE=16即BG²-10BG+16=0，就可以求出BG的长．进而求出BC，就可以求出sinA的值．

解答：解：（1）连接OD、OC相交于M，
∵∠ACB=90°，CO=AO，
∴∠ACO=∠CAO，∠CAO+∠B=90°，∠B+∠BHG=90°．
∴∠CAO=∠BHG．
∵DC=DH，
∴∠DCH=∠DHC．
∴∠DCH=∠ACO．
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°．
∴OC⊥PC．
即DC为切线．
（2）∵AB=10，EF=8，EF垂直AB，
∴EG=4=GF．
∴OG=3，
∴BG=2．
连接OH，
∵H为BC中点，
∴OH⊥BC，
∴△BHG∽△BHG，
∴BH²=BG•BO=2×5=10，
∴BH=

10

=CH，
同理得：HG=

6

，
cos∠BHG=

HG

BH

=

6

10

=

15

5

．
又∵∠DCH=∠DHC=∠BHG，
∴

1 2 CH

CD

=cos∠DCB=cos∠BHG=

15

5

，
∴CD=

5 6

6

．

点评：考查了切线的判定．证明一条直线是圆的切线，只要证明直线经过半径的外端点，且垂直于这条半径就可以．证明线段的积相等的问题可以转化为三角形相似的问题．