Question

如图，四边形ABCD为直角梯形，AD‖BC，∠A=90°，AD=6，BC=10．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单位的速度由C向B运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（0≤t≤5），
（1）当t为多少时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）当t为多少时，四边形PQCD是等腰梯形？

Answer 1

解：根据题意得：PA=t，CQ=2t，则PD=AD-PA=6-t．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即6-t=2t，
解得：t=2，
即当t=2秒时，四边形PQCD为平行四边形；

（2）过D作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=6，
∴EC=BC-BE=4，
当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图．
过点P作PF⊥BC于点F，则四边形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即2t-（6-t）=8，
解得：t=，
即当t=秒时，四边形PQCD为等腰梯形．
分析：（1）由于PD∥CQ，所以当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，由此可得方程6-t=2t，解此方程即可求得答案；
（2）首先过D作DE⊥BC于E，可求得EC的长，又由当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即2t-（6-t）=8时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．