Question

我们通过计算发现：抛物线y=x²+2x-1的顶点（-1，-2）在抛物线y=-x²+2x+1上，同时抛物线y=-x²+2x+1的顶点（1，2）也在抛物线y=x²+2x-1上，这时我们称这两条抛物线是相关的．
（1）问：抛物线y=x²-2x-1与抛物线y=-x²-2x+1是否相关，并说明理由．
（2）如图，已知抛物线C：y=（x+1）²-2，顶点为M．
①若有一动点P的坐标为（m，2），现将抛物线C绕点P（m，2）旋转180°得到新的抛物线C′，且抛物线C与新的抛物线C′相关，求抛物线C′的解析式．
②若抛物线C′与C相关，顶点为N，现以MN为斜边作等腰直角△MNQ，问y轴上是否存在满足要求的点Q？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线y=x²-2x-1的顶点坐标为：（1，-2）；
抛物线y=-x²-2x+1的顶点坐标为：（-1，2）；
①当x=1时，y=-x²-2x+1=-1-2+1=-2，∴点（1，-2）在抛物线y=-x²-2x+1上；
②当x=-1时，y=x²-2x-1=1+2-1=2，∴点（-1，2）在抛物线y=x²-2x-1上；
因此，抛物线y=x²-2x-1与抛物线y=-x²-2x+1相关．

（2）①抛物线C：y=（x+1）²-2的顶点M（-1，-2）；
由于抛物线C′是抛物线C绕点P（m，2）旋转180゜所得，所以抛物线C、C′的顶点关于点P对称，
∴抛物线C′的顶点坐标M′（，6），抛物线C′：y=-（x-）²+6；
已知抛物线C和抛物线C′相关，那么点M′必在抛物线C的函数图象上，即：
6=（+1）²-2，解得：m₁=、m₂=-；
∴抛物线C′的解析式为：y=-（x-7）²+6或y=-（x+9）²+6．

②由①得：点N的坐标为（7，6）或（-9，6）；
已知：M（-1，-2），设点Q的坐标为（0，m），则：
当N点取（7，6）时，MN²=（7+1）²+（6+2）²=128、NQ²=（7-0）²+（6-m）²=m²-12m+85、MQ²=（-1-0）²+（-2-m）²=m²+4m+5
令，MQ²=NQ²，则 m²-12m+85=m²+4m+5，m=5
此时，MQ²+NQ²=50+50=100≠MN²
∴当N（7，6）时，不存在符合条件的Q点，使得△MNQ是等腰直角三角形；
同理可得：当N取（-9，6）时，也不存在符合条件的Q点；
综上，不存在符合条件的点Q，使得△MNQ是等腰直角三角形．
分析：（1）首先找出前后两个抛物线的顶点，然后将它们的顶点分别代入对方的抛物线解析式中进行验证，若各自的顶点分别在对方的抛物线图象上，即可确定两者相关，反之则不能．
（2）①抛物线C′是由抛物线C绕点P（m，2）旋转180゜所得，那么两条抛物线的顶点关于点P对称，据此求出抛物线C′的顶点坐标，若抛物线C、C′相关，那么抛物线C′的顶点必在抛物线C的函数图象上，因此只需将C′的顶点代入抛物线C中求解即可；
②在①中已求出抛物线C′的顶点，先设出点Q的坐标，然后由坐标系两点间的距离公式求出MQ²、NQ²、MN²，若△MNQ是以MN为斜边的等腰直角三角形，那么必须满足：MQ²=MN²，且MQ²+NQ²=MN²，若两式成立，那么存在符合条件的Q点，反之，则不存在．
点评：解答该题首先要充分理解题干资料所表达的含义，围绕二次函数的性质、图形的旋转、等腰直角三角型的判定和性质等重点知识对题目展开分析；（2）①的难度较大，找出两个抛物线顶点间的关系是突破题目的关键所在．此外，还要注意类似题目间的联系，如：将（2）②的“抛物线C′”改为“抛物线C″”时，解题的过程就会有很大不同，此时，可分别过M、N作y轴的垂线，通过构建全等三角形来得出点N的坐标．