Question

如图，点A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2π cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到点A立即停止运动，点B是OA延长线上的一点，AB=OA，若点P运动的时间为t．
（1）如果∠POA=90°，求t的值； 
（2）当BP与⊙O相切时，求t的值．
（3）当t为何值时，△POB为锐角三角形？钝角三角形？（只要写出结果，不要求写过程）

Answer 1

分析：（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

或

3

4

，所以分两种情况进行分析；
（2）根据题意画出图形再解答，分两种情况分别计算弧长后求解；
（3）结合（2）的解题过程和图形直接回答．

解答：解：（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

或

3

4

，
设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

时，2π•t=

1

4

•2π•12，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的

3

4

时，2π•t=

3

4

•2π•12，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s；

（2）解：如图，连接OP，则OP=12cm，OB=24cm．
在Rt△OPB中，OP=

1

2

OB，故∠BOP=60°．

AP

的长l=

60π×12

180

=4π，
故当t=

4π

2π

=2s时，BP与⊙O相切；
同理当P运动到P′时，∠AOP′=360°-60°=300°．优弧

APP′

=

300π×12

180

=20π，
故当t=

20π

2π

=10s时，BP与⊙O相切．
∴当点P运动的时间为2s或10s时，BP与⊙O相切；

（3）由（1）、（2）知，点P运动的时间为3s或9s或2s或10s时，△POB为直角三角形．
如图，当0＜t＜2、3＜t＜6、6＜t＜9、10＜t＜12时，△POB为钝角三角形；
当2＜t＜3、9＜t＜10△POB为锐角三角形．

点评：本本题考查的是圆的综合题．其中涉及到了钝角三角形与锐角三角形的判定的，切线的性质及弧长公式，解答（2）题时要注意过圆外一点有两条直线与圆相切，不要漏解．