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    （2013•晋江市质检）如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（a，b）为双曲线y=
    12x
    上的一点，射线PM⊥x轴于点M，交直线AB于点E，射线PN⊥y轴于点N，交直线AB于点F．
    （1）直接写出点E与点F的坐标（用含a、b的代数式表示）；
    （2）当x＞0，且直线AB与线段PN、线段PM都有交点时，设经过E、P、F三点的圆与线段OE相交于点T，连结FT，求证：以点F为圆心，以FT的长为半径的⊙F与OE相切；
    （3）①当点P在双曲线第一象限的图象上移动时，求∠EOF的度数；
    ②当点P在双曲线第三象限的图象上移动时，请直接写出∠EOF的度数．
    分析：（1）点E和点P的横坐标相等，点F和点P的纵坐标相等，代入直线解析式，可得出点E与点F的坐标；
    （2）根据圆周角定理可得∠FTE=90°，结合FT是⊙F的直径，可判断出结论；
    （3）①根据（1）所求的坐标，表示出PF、PE，利用勾股定理求出EF、OE、BE，及EF×BE的值，结合点P（a，b）在反比例函数上，可得2ab=1，继而可推出EF•BE=OE2，证明△OEF∽△BEO，即可得出∠EOF的度数．
    ②根据①相似三角形判定的过程，可证明△OE'F'∽△BE'O，继而可得出此时∠EOF的度数．
    解答：解：（1）E（a，1-a），F（1-b，b）．

    （2）∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
    ∴四边形NOMP是矩形，
    ∴∠P=90°，
    ∴EF是⊙Q的直径．（不妨设经过E、P、F三点的圆为⊙Q），
    ∴∠FTE=90°，
    ∴FT⊥OE，
    又∵OE经过半径FT的外端T，
    ∴OE是⊙F的切线．

    （3）①由直线y=-x+1可求得：B（0，1），A（1，0），即△ABO是等腰直角三角形，如图所示，
    由（1）得：E（a，1-a），F（1-b，b），
    则PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
    在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF=
    		(a+b-1)2+(a+b-1)2
    =
    		2
    (a+b-1)    ，
    同理可得：OE=
    		a2+(1-a)2
    =
    		2a2-2a+1
    ，BE=
    		a2+[1-(1-a)]2
    =
    		2
    a    ，
    ∴OE2=2a2-2a+1，EF•BE=
    		2
    (a+b-1)•
    		2
    a=2a2+2ab-2a    ，
    ∵P（a，b）在反比例函数图象上，
    ∴b=
    1
    2a
    ，即2ab=1，
    ∴EF•BE=
    		2
    (a+b-1)•
    		2
    a=2a2+1-2a    ，
    ∴EF•BE=OE2，即
    OE
    EF
    =
    BE
    OE
    ，
    又∵∠OEF=∠BEO，
    ∴△OEF∽△BEO．
    ∴∠EOF=∠ABO=45°，
    综上可得：∠EOF的度数是45°．
    ②如图所示：根据①的证明过程可得：△OE'F'∽△BE'O，
    故可得∠E'OF'=∠E'BO=180°-∠ABO=135°，
    故当点P在双曲线第三象限的图象上移动时∠EOF的度数是135°．
    点评：此题考查了反比例函数的综合题，融合了矩形、等腰直角三角形、三角形面积的求法、两点间的距离公式、相似三角形的判定和性质等重要知识，难点在于第三问，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
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    4.364×109
    4.364×109
    元．

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