Question

已知抛物线C：y=-x²+bx+c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,平行四边形的性质

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）直接把A（-3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=-x²+bx+c，求出b，c的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；
（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，
∴

-9-3b+c=0 c=3

，解得

b=-2 c=3

，
故此抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∴当x=-

b

2a

=-

-2

2×(-1)

=-1时，y=4，
∴M（-1，4）．

（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，
∴MN∥M′N′且MN=M′N′．
∴MN•NN′=16，
∴NN′=4．

i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；
ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．

点评：本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．