Question

如图，已知半径分别为1，2的两个同心圆，有一个正方形ABCD，其中点A，D在半径为2的圆周上，点B，C在半径为1的圆周上，求这个正方形的面积．

Answer 1

解：如图，过O作OE⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，连接OC，OD，
则E、F分别为AD、BC的中点，
设正方形边长为2x，故ED=x，又OD=2，
∴由勾股定理得OE=，
∴OF=|OE-EF|=|-2x|，
在Rt△OCF中，OC=1，FC=x，
根据勾股定理得：CF²+OF²=OC²，即x²+（-2x）²=1，
整理得：32x⁴-40x²+9=0，
解得x²=，
则S_{正方形ABCD}=4x²=．
分析：如图，过O作OE⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，连接OC，OD，则E、F分别为AD、BC的中点，设正方形边长为2x，表示出ED，OE，OF，在直角三角形OCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，即可得出x²的值，再求得面积．
点评：本题考查了勾股定理、垂径定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度偏大．