Question

13．已知平面直角坐标系中，⊙M在第一象限内，点M的坐标为（a+1，a）（其中a＞1），⊙M的半径为1，动点P在坐标轴上，过点P作⊙M的切线，则最短的切线长为（　　）

• A． a-1
• B． a
• C． $\sqrt{{a}^{2}-1}$
• D． $\sqrt{{a}^{2}+2a}$

Answer 1

分析 设切点为Q，连接MQ，如图，利用切线的性质得到∠PQM=90°，利用勾股定理得到PQ=$\sqrt{P{M}^{2}-1}$，由于M到x轴的距离为a，到y轴的距离为a+1，所以PM的最小值为a，于是得到PQ的最小值为$\sqrt{{a}^{2}-1}$．

解答 解：设切点为Q，连接MQ，如图，
∵PQ为切线，
∴MQ⊥PQ，
∴∠PQM=90°，
∴PQ=$\sqrt{P{M}^{2}-M{Q}^{2}}$=$\sqrt{P{M}^{2}-1}$，
当PM最小时，PQ的值最小，
而M到x轴的距离为a，到y轴的距离为a+1，
∴PM的最小值为a，
∴PQ的最小值为$\sqrt{{a}^{2}-1}$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质．