Question

在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．
小明做了如下操作：
将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．

Answer 1

考点：旋转的性质,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：几何综合题

分析：（1）根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形；
（2）由于四边形ABDF是菱形，则AB∥DF，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形，根据平行四边形的性质得AB∥CE，且AB=CE，
所以CE∥FD，CE=FD，所以可判断四边形CDEF是平行四边形．

解答：（1）解：四边形ABDF是菱形．理由如下：
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，
∴AB=DF，BD=FA，
∵AB=BD，
∴AB=BD=DF=FA，
∴四边形ABDF是菱形；

（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB∥DF，且AB=DF，
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，
∴AB=CE，BC=EA，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴AB∥CE，且AB=CE，
∴CE∥FD，CE=FD，
∴四边形CDEF是平行四边形．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定．