Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有（　　）个：
（1）△OBC≌△ABD； 
（2）点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是（0，

3

）；  
（3）∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；  
（4）当点C的坐标为（m，0）（m＞1）时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为S=

3

4

m²．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）易证∠OBC=∠ABD，即可证明△OBC≌△ABD，即可解题；
（2）根据（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根据直角三角形30°，所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的．
（3）根据∠OAE=60°可得∠DAC=60°，可得∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；即可证明该结论错误；
（4）根据△OBC≌△ABD，可得四边形ABDC的面积S=S_△ACD+S_△ABD=S_△ACD+S_△OBC，即可解题．

解答：解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

OB=AB ∠BC=∠ABD BC=BD

，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；（1）正确；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，
∵∠OAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2OA=2，
∴OE=

22-12

=

3

，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，

3

）；（2）正确；
（3）∵∠OAE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；（3）错误；
（4）∵△OBC≌△ABD，
∴四边形ABDC的面积S=S_△ACD+S_△ABD=S_△ACD+S_△OBC
=

1

2

AC•ADsin∠DAC+

1

2

OB•OCsin∠BOC
=

1

2

×（m-1）m×

3

2

+

1

2

×1×m×

3

2

=

3

4

m²，故（4）正确；
故选．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△OBC≌△ABD是解题的关键．