Question

AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为________，CE的长是________，BD的长是________；
（2）求证：CF=BF．

Answer 1

解：（1）∵C是弧BD的中点，CD=6
∴BC=CD=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB===10，
则⊙O的半径为5，
S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴CE==4.8，
CE的长是 4.8，
∵C为弧BD中点，
∴弧CD=弧BC，
∵弧BC对的圆周角是∠CAB，弧CD对的圆周角是∠CBD，
∴∠CAB=∠CBD，
∵∠ACB=∠MCB，
∴△ACB∽△BCM，
∴=，
∴=，
CM=，
∴AM=8-=，
在Rt△BCM中，BC=6，CM=，由勾股定理得：BM=，
由相交弦定理得：AM×CM=BM×DM，
×=×DM
DM=，
BD=BM+DM=+=9.6，
故答案为：5，4.8，9.6．

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠BCE﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是弧BD的中点，
∴弧DC=弧BC，
∴∠CBD﹦∠A，
∴∠CBD﹦∠BCE，
∴CF﹦BF．
分析：（1）求出BC=CD=6，根据三角形面积公式求出AB，即可求出圆的半径，证△ACB∽△BCM，得出比例式，求出DM，根据勾股定理求出BM，根据相交弦定理求出DM即可；
（2）求出∠BCE=∠A=∠CBD，根据等角对等边求出即可．
点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，相交弦定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识点的综合运用，本题综合性比较强，有一定的难度．