Question

6．如图，点A坐标为（4，0），点P在第一象限且在直线y=-x+5上．
（1）设点P坐标为（x，y），写出△OPA的面积S与x之间的关系式（其中点P横坐标在O与A点之间变化）；
（2）当S=12时，求点P的坐标；
（3）若△OPA是直角三角形，求P点坐标，并求面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PH⊥OA于H．根据S=$\frac{1}{2}$×OA×PH计算即可．
（2）利用（1）中结论S=12代入，解方程即可．
（3）如图2中，直线y=-x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，K是OA中点，作KM⊥BC于M．分三种情形讨论说明即可．

解答 解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．

∵A（4，0），P（x，y），
∴OA=4，PH=y，
∵点P在y=-x+5上，
∴PH=-x+5，
∴S=$\frac{1}{2}$×OA×PH=$\frac{1}{2}$×4×（-x+5）=-2x+10，
∴S=-2x+10．

（2）∵S=12，
∴-2x+10=12，
∴x=-1，y=6，
∴点P坐标为（-1，6）．

（3）如图2中，直线y=-x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，K是OA中点，作KM⊥BC于M．

①当∠POA=90°时，点P与C重合，不符合题意，点P在第一象限．
②当∠OAP=90°时，∵△PAB是等腰直角三角形，
∴PA=AB=1，
∴P（4，1），S_△OAP=$\frac{1}{2}$×4×1=2．
③∵KA=KO=2，KB=3，
∴KM=MB=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$＞2，
∠OPA不可能为直角．
∴△OPA是直角三角形，P点坐标为（4，1），面积为2．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．