Question

24、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点．
求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的全等，证明△CEB≌△CFD，即可解决；
（2）连接AG，CG，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AG=GE=GF，再证明∠ECF=90°，即可得出CG=GE=GF，结论得证．

解答：（1）证明：
∵BE=DF，
BC=CD，
∠EBC=∠CDF，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE=CF；

（2）证明
连接AG，CG
在Rt△EAF中，
∵G是斜边EF的中点，
∴AG=GE=GF，
又∵△EBC≌△FDC
∴∠ECB=∠FCD，∠BCD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴同理：CG=GE=GF，即GC=GA，
∴G点在AC的垂直平分线上，
又∵DA=DC，
∴D点也在AC的垂直平分线上，
∴DG垂直平分AC．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，分别得出AG=GE=GF，CG=GE=GF，是解决问题的关键．