Question

已知：a、b、c是△ABC的三边，且满足a²=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值．

Answer 1

解：∵a²=（c+b）（c-b）=c²-b²，即a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
又4c-5b=0，∴=，
设b=4k，则c=5k，
根据勾股定理得：a=3k，
则cosA+cosB=+==．
分析：将已知的等式a²=（c+b）（c-b）右边利用平方差公式化简，变形后利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，且∠C为直角，再由4c-5b=0，得出b与c的比值，根据比值设出b与c，利用勾股定理表示出a，利用锐角三角函数定义将所求式子变形，把表示出的a，b，c代入，整理后即可得到结果．
点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理的逆定理，比例的性质，以及锐角三角函数定义，根据勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是本题的突破点．