Question

如图，直线y=3x+3交坐标轴于A，B，点C在双曲线y=

k

x

（x＜0）上，且BC⊥AB，连接AC交双曲线于D，若D恰好为AC的中点，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：对于直线y=3x+3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标，根据BC与AB垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出BC的斜率，进而确定出直线BC的解析式，与反比例函数解析式联立表示出C坐标，再利用线段中点坐标公式表示出D坐标，代入反比例解析式中列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，

解答：解：对于直线y=3x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=-1，
∴A（0，3），B（-1，0），
∴直线BC解析式为y=-（x+1）=-x-1，
y=-x-1与反比例解析式联立消去y得：

k

x

=-x-1，
去分母得：x²+x+k=0，
解得：x=

-1+ 1-4k

2

（舍去），或x=

-1- 1-4k

2

，
∴y=

1+ 1-4k

2

-1，即C（

-1- 1-4k

2

，

1+ 1-4k

2

-1），
∵D为AC中点，
∴D（

-1- 1-4k

4

，

1+ 1-4k

4

+1），
将D坐标代入反比例解析式得：

-1- 1-4k

4

•（

1+ 1-4k

4

+1）=k，
解得：k=-4．
故答案为：-4

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，一次函数与坐标轴的交点，以及坐标与图形性质，是一道中档题．