Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE．求证：∠B+∠ADC=180°．

Answer 1

证明：过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵2AE=AB+AD，
又∵AD=AF-DF，AB=AE+BE，AF=AE，
∴2AE=AE+BE+AE-DF，
∴BE=DF，
∵∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE，
∴△CDF≌△CEB，
∴∠ABC=∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠B+∠ADC=180°．
分析：延长AD过C作CF垂直AD于F，有条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再有条件AD+AB=2AE可证BE=DF，所以△CDF≌△CEB
，有全等的性质可得∠ABC=∠CDF，问题可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．