Question

12．如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为（3，0），点C（5，0）．
（1）如图①，求BD的长；
（2）如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA；
（3）如图③，若点P为OB上一个动点（不与O、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N，当P在OB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值．

Answer 1

分析 （1）先由等边三角形的性质得出OA=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°进而得出∠OAC=∠BAD，即可判断出△AOC≌△ABD即可得出结论；
（2）借助（1）得出的△AOC≌△ABD，得出∠ABD=∠AOC=30°，进而求出∠BFO=60°，再判断出，△AOF≌△BOF即可求出∠OFA=∠DFA=60°；
（3）利用三角形的面积即可得出结论．

解答 解：（1）∵点C（5，0）．
∴OC=5，
∵△AOB和△ACD是等边三角形，
∴OA=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}\\{∠OAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABD，
∴BD=OC=5；
（2）∵△AOB是等边三角形，且AB⊥x轴于E点，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
由（1）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=30°，
∴∠BFO=90°-∠ABD=60°，
在△AOF和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOF=∠BOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOF，
∴∠AFO=∠BFO=60°，
根据平角的定义得，∠DFA=180°-∠AFO-∠BFO=60°，
∴∠OFA=∠DFA；
（3）①PM+PN的值不变，
理由：如图③，

连接AP，PM⊥OA于M，PN⊥AB，
∴S_△ABC=S_△AOP+S_△ABP=$\frac{1}{2}$OA•PM+$\frac{1}{2}$AB•PN=$\frac{1}{2}$AB•PM+$\frac{1}{2}$AB•PN=$\frac{1}{2}$AB•（PM+PN），
∵△ABC是等边三角形，且AB⊥x轴，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AE，
∴$\frac{1}{2}$AB•（PM+PN）=$\frac{1}{2}$AB•AE，
∴PM+PM=AE=3，
∴PM+PN的值不变．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，是一道简单的基础题．