Question

18．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 连接OA、OC、OB．由切线的性质可知∠OAB=90°，然后证明△AOB≌△COB，从而得到∠OCB=∠OAB=90°，于是得到∠ABC+∠AOC=180°然后根据圆周角定理和菱形的性质可知∠AOC=2∠ABC，从而可求得∠AOC=60°．

解答 解：如图所示：连接OA、OC、OB．

∵BA是圆O的切线，
∴OA⊥AB．
∴∠BAO=90°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ADC．
在△AOB和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{OA=OC}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COB．
∴∠OCB=∠OAB=90°．
∴∠ABC+∠AOC=180°．
又∵∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOC=2∠ABC．
∴3∠AOC=180°．
∴∠AOC=60°．

点评 本题主要考查的是切线的性质、菱形的性质、全等三角形的性质和判定，证得∠AOC=2∠ABC、∠ABC+∠AOC=180°是解题的关键．