Question

若D点坐标（4，3），点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例y=

12

x

（x＞0）图象上的动点，若△PDQ为等腰直角三角形，则P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：先判断点D在反比例y=

12

x

（x＞0）图象上，再分类讨论：当QP=QD，∠PQD=90°，如图1，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，QB⊥DH于B，易证得△QPA≌△QDB，则BQ=QA，设Q点坐标为（x，

12

x

），则QA=

12

x

，BQ=x-4，所以

12

x

=x-4，解得x=6（x=2舍去），于是可确定Q点坐标为（6，2），则QA=2，PA=BD=1，利用勾股计算出PQ=

5

，根据等腰直角三角形的性质得DP=

2

PQ=

10

，在Rt△DPH中，再利用勾股定理计算出PH=1，则OP=5，所以P点坐标为（5，0）；当DP=DQ，∠PDQ=90°，如图2，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，QB⊥DH于B，易证得△DPH≌△QDB，则BQ=DH=3，BD=PH，则Q点坐标为（7，

12

7

），所以BD=

9

7

，则PH=

9

7

，OP=

19

7

，所以P点坐标为（

19

7

，0）；当PD=PQ，∠DPQ=90°，如图3，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，易证得△DPH≌△PQA，则BQ=PA=3，PH=QA，设PH=t，则QA=t，则Q点坐标为（t+7，t），根据反比例函数图象上点的坐标特征得t（t+7）=12，解得t=

-7+ 97

2

（t=

-7- 97

2

舍去），则OP=

1+ 97

2

，于是得到P点坐标为（

1+ 97

2

，0）．

解答：解：∵3×4=12，
∴点D在反比例y=

12

x

（x＞0）图象上，
当QP=QD，∠PQD=90°，如图1，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，QB⊥DH于B，
易证得△QPA≌△QDB，则BQ=QA，
设Q点坐标为（x，

12

x

），
∴QA=

12

x

，BQ=x-4，
∴

12

x

=x-4，解得x=6（x=2舍去），
∴Q点坐标为（6，2），
∴QA=2，PA=BD=3-2=1，
∴PQ=

22+12

=

5

，
∴DP=

2

PQ=

10

，
在Rt△DPH中，DH=3，
∴PH=

( 10 )2-32

=1，
∴OP=5，
∴P点坐标为（5，0）；
当DP=DQ，∠PDQ=90°，如图2，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，QB⊥DH于B，
易证得△DPH≌△QDB，则BQ=DH=3，BD=PH，
∴Q点坐标为（7，

12

7

），
∴BD=3-

12

7

=

9

7

，
∴PH=

9

7

，
∴OP=4-

9

7

=

19

7

，
∴P点坐标为（

19

7

，0）；
当PD=PQ，∠DPQ=90°，如图3，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，
易证得△DPH≌△PQA，则BQ=PA=3，PH=QA，
设PH=t，则QA=t，
∴Q点坐标为（t+7，t），
∴t（t+7）=12，解得t=

-7+ 97

2

（t=

-7- 97

2

舍去），
∴OP=4+

-7+ 97

2

=

1+ 97

2

，
∴P点坐标为（

1+ 97

2

，0）．
故答案为（5，0）、（

19

7

，0）、（

1+ 97

2

，0）．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

k

x

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质．