Question

15．若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，如矩形是等对角线四边形．
（1）如果四边形为等对角线四边形，那么顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形；
（2）如图1，已知四边形ABCD中，AC，BD为对角线，∠ABC=∠DCB=60°，AB+CD=BC，求证：四边形ABCD是等对角线四边形；
（3）如图2，AC，BD是等对角线四边形ABCD的两条对角线，AB＜CD，BD平分∠ABC，∠BDC=90°，CD=$\sqrt{5}$，tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，求tan∠ACB的值

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形；
（2）如图2，作辅助线，构建两个等边三角形，并证明△AEC≌△BED可得AC=BD；
（3）如图3，作辅助线，构建等腰三角形，证明△MBD≌△CBD，则BM=BC，根据已知的三角函数值分别求BD和BC的长，设PM=a，则BP=5-a，根据勾股定理列方程求得：a=2，则AB=5-2-2=1，利用面积法求
AG=$\frac{4}{5}$，再求CG=5-$\frac{3}{5}$=$\frac{22}{5}$，得出结论．

解答 解：（1）如图1，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC，
同理可得：EF=$\frac{1}{2}$BD，FG=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∴如果四边形为等对角线四边形，那么顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形；
故答案为：菱形；

（2）如图2，在BC上取一点E，使BE=AB，连接AE、DE，
∵AB+CD=BC，
∴EC=DC，
∵∠DCB=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴ED=EC，∠DEC=60°，
∴∠BED=180°-60°=120°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，∠AEB=60°，
∴∠AEC=180°-60°=120°，
∴∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是等对角线四边形；

（3）如图3，延长BA、CD交于M，过C作CP⊥BM于P，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠BDM=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△MBD≌△CBD，
∴BM=BC，
Rt△BDC中，tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵DC=$\sqrt{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∴BM=BC=5，
∵AC=BD=2$\sqrt{5}$，
MD=DC=$\sqrt{5}$，
∴MC=AC=2$\sqrt{5}$，
∴AP=PM，
设PM=a，则BP=5-a，
由勾股定理得：MC²-PM²=BC²-BP²，
$（2\sqrt{5}）^{2}-{a}^{2}={5}^{2}-（5-a）^{2}$，
a=2，
∴AB=5-2-2=1，
PC=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
过A作AG⊥BC于G，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•PC=$\frac{1}{2}$BC•AG，
1×4=5AG，
AG=$\frac{4}{5}$，
由勾股定理得：BG=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=5-$\frac{3}{5}$=$\frac{22}{5}$，
∴tan∠ACB=$\frac{AG}{CG}$=$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{22}{5}}$=$\frac{4}{22}$=$\frac{2}{11}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了等对角线四边形的定义及运用，还考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、菱形的判定以及三角形中位线定理等知识，本题涉及的知识较多，第三问有难度，作辅助线，构建等腰三角形是关键．