Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，DE∥AB．
（1）求∠BCD的度数；
（2）若AB=4，求等腰梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=CD=DE，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=DE=CE，
∴DE=DE=CE，即△CDE是等边三角形，
∴∠BCD=60°；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵△CDE是等边三角形，AB=CD=4，
∴DF=CD•sin60°=4×=2，
∵AB=BE=CE=4，
∴BC=2AB=8，
∴S_梯形ABCD=（AD6BC）•DF=×（4+8）×2=12．
分析：（1）先根据等腰梯形的性质得出AB=CD，再由AD∥BC，DE∥AB可知四边形ABED是平行四边形，故可得出AB=CD=DE，再由直角三角形的性质可得出BE=DE=CE，故DE=DE=CE，即△CDE是等边三角形，故可得出结论；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，由锐角三角函数的定义可得出DF的长，由梯形的面积公式即可得出结论．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形及直角三角形的性质是解答此题的关键．